[DiscreteMath]행렬

📚기본사항

📄행렬

m, n이 양의 정수일 때, m개의 행과 n개의 열로 구성된 직사각형의 배열 A를 m x n 행렬이라고 합니다. A 행렬의 i번째 행의 j번째 열의 수를 행렬의(i, j) 원소라고 합니다. 기호로는 a_ij로 표시합니다.

\[A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{pmatrix}\]

📄영행렬

모든 원소가 0인 행렬을 영행렬이라고 합니다. 아래 행렬을 4 x 4인 영행렬입니다.

\[\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\]

📚행렬의 연산

📄기본연산

• 행렬의 합
  같은 크기의 행렬 A, B가 있을 때 같은 위치의 A의 원소로부터 B원소를 더해서 구해지는 행렬입니다.

• 행렬의 차
  같은 크기의 행렬 A, B가 있을 때 같은 위치의 A의 원소로부터 B원소를 빼서 구해지는 행렬입니다.

• 행렬의 스칼라 곱
  A의 각 원소에 k를 곱해서 구해지는 행렬입니다.(k는 실수)

• 행렬의 곱
  A가 m x n 행렬이고 B가 n x l 행렬일 때, 행렬의 곱은 m x l 행렬이 됩니다. 행렬 A의 열의 개수와 행렬 B의 행의 개수가 같을 때만 행렬의 곱을 계산할 수 있습니다. 행렬의 곱 AB의 (i, j)원소는 A의 i번째 행벡터와 B의 j번째 열벡터의 내적입니다.

💡벡터, 내적
벡터: 행이 1개 또는 열이 1개인 행렬을 벡터(vector)라고 합니다. 행이 1개인 벡터를 행 벡터(row vector)라고 하고, 열이 1개인 벡터를 열 벡터(column vector)라고 합니다.

내적: 내적은 벡터를 마치 수처럼 곱하는 개념입니다.

📍행렬에 대한 연산 결과를 구하시오.

\(A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{pmatrix}\)

1. A + B = ?
   \(A + B = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 3 \\ \end{pmatrix}\)

2. A - B = ?
   \(A - B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -1 & -1 \\ \end{pmatrix}\)

3. 2A = ?
   \(2A = \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 2 & 2 \\ \end{pmatrix}\)

4. AB = ?
   \(AB = \begin{pmatrix} (5 * 0) + (3 * 2) & (5 * 1) + (3 * 2) \\ (1 * 0) + (1 * 2) & (1 * 1) + (1 * 2) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 11 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}\)

📄가우스 소거법

가우스 소거법은 일차연립방적식의 풀이에 사용됩니다. 아래와 같은 일차연립방정식이 있다고 생각해봅시다.

\[\begin{align} -2x - 5y + 2z &= -3 \\ x + 3y \quad\quad\; &= 4 \\ y + 3z &= 6 \\ \end{align}\]

위 연립방정식을 행렬과 벡터를 이용해 나타내면 아래와 같습니다.

\[\begin{pmatrix} -2 & -5 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 6 \\ \end{pmatrix}\]

(x, y, z) 앞에 3 x 3 행렬을 계수행렬이라고 합니다. (x, y, z)를 해라고 하고 (-3, 4, 6)을 상수행렬이라고 합니다. 계수행렬과 상수행렬을 묶어서 아래와 같이 행렬로 만들 수 있습니다.

\[\begin{pmatrix} -2 & -5 & 2 & -3 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ \end{pmatrix}\]

이런 행렬을 확대행렬이라고 하는데 이 행렬은 해를 구하는 용도로 사용됩니다. 위의 과정처럼 해를 구하기 위해 식을 변형하는 작업을 기본행연산이라고 합니다.

• 기본행연산
  • 행 교환 연산
    행 교환 연산이란 연립방정식에서 식의 순서를 바꾸더라도 해는 변하지 않으므로 두 행의 위치를 서로 바꾸는 작업을 말합니다.
  \[\begin{align} x + 3y \quad\quad\; &= 4 \\ -2x - 5y + 2z &= -3 \\ y + 3z &= 6 \\ \end{align}\]
  • 행 스케일링 연산
    행 스케일링 연산은 하나의 행에 0이 아닌 스칼라 곱을 하는 작업을 말합니다. 방정식에 0이 아닌 상수를 곱하더라도 해는 변하지 않으므로 해는 유지됩니다.
  \[\begin{align} 2x + 6y \quad\quad\; &= 8 \\ -2x - 5y + 2z &= -3 \\ y + 3z &= 6 \\ \end{align}\]
  • 행 대체 연산
    행 대체 연산이란 하나의 행에 스칼라 곱을 수행하고 그 결과를 다른 행에 더하는 작업을 말합니다.
  \[\begin{align} 2x + 6y \quad\quad\; &= 8 \\ y + 2z &= 5 \\ y + 3z &= 6 \\ \end{align}\]

기존 행렬을 확대행렬로 만든 다음 기본행연산을 이용하여 행제형 행렬로 변환하여 해를 구합니다. 이런 과정을 가우스 소거법이라고 합니다. 확대행렬을 소거행제형 행렬로 변환하여 해를 구하는 방법은 가우스-조르단 소거법이라고 합니다.

• 행제형 행렬
  • 영행이 아닌 행은 영행의 위에 있다.
  • 행렬의 각 행에서 0이 아닌 가장 처음 나타나는 원소를 선도원소라고 합니다. 모든 선도원소는 1입니다.
  • 주어진 행의 선도원소는 그 아래 행의 선도원소보다 왼쪽에 있습니다.

• 소거행제형 행렬
  • 위 조건을 다 만족하면서 다음과 같은 조건도 만족하는 것이 소거행제형 행렬입니다.
  • 선도원소가 포함된 열에서 선도원소를 제외한 모든 원소는 0입니다.

📍행제형 행렬과 소거행제형 행렬 여부 판단

• 행제형 행렬

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}\]

• 소거행제형 행렬

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\]

📚행렬의 종류

📄정방행렬

행의 수와 열의 수가 같은 n x n 행렬을 n차 정방행렬이라고 합니다. n을 정방행렬의 차수라고 합니다. a₁₁, a₂₂, a₃₃, …, a_nn 원소를 대각원소라고 합니다. 대각원소를 포함하는 대각선을 주대각선이라고 합니다.

📍정방행렬

\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\]

📄대각행렬

n차 정방행렬에서 대각원소 이외의 모든 원소가 0인 행렬을 대각행렬이라고 합니다. 대각원소가 모두 같은 값인 대각행렬을 스칼라 행렬이라고 합니다.

📍대각행렬

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}\]

📄단위행렬

n차 정방행렬에서 대각원소가 모두 1이고 나머지 원소는 모두 0인 행령을 n차 단위행렬이라고 합니다. I_n 기호로 나타냅니다.

📍단위행렬

\[I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\]

📄대칭행렬

n차 정방행렬에서 a_ij = a_ji인 행렬을 대칭행렬이라고 합니다.

📍대칭행렬

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix}\]

📄역대칭행렬

n차 정방행렬에서 a_ij = -a_ji이고 대각원소가 모두 0인 행렬을 역대칭행렬이라고 합니다.

📍역대칭행렬

\[\begin{pmatrix} 0 & 5 & 2 \\ -5 & 0 & -4 \\ -2 & 4 & 0 \\ \end{pmatrix}\]

📄삼각행렬

n차 정방행렬에서 주대각선 아래에 있는 모든 원소들이 0인 경우 상삼각행렬, 주대각선 위에 있는 모든 원소들이 0인 경우 하삼각행렬이라고 합니다. 상삼각, 하삼각행렬을 삼각행렬이라고 부릅니다.

📍삼각행렬

• 상삼각행렬 \(\begin{pmatrix} 2 & 5 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\)
  
  
• 하삼각행렬 \(\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\)

📄전치행렬

m x n 행렬 A가 있을 때, A의 행과 열을 서로 교환한 행렬을 A의 전치행렬이라고 합니다. A^T 기호로 나타냅니다.

📍행렬 A의 전치행렬을 구하시오.

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \\ \end{pmatrix}\]

\[A^{T} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\]

📄역행렬

n차 정방행렬 A, B가 있을 때, AB = BA = I_n(단위행렬)인 행렬 B가 존재하는 경우 행렬 A를 역가능하다고 합니다. 이때 행렬 B를 행렬 A의 역행렬이라고 합니다. A^-1 기호로 표기합니다.

📍행렬 A의 역행렬을 구하시오.

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \\ \end{pmatrix}\]

\[AA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\]

2a + c = 1, 2b + d = 0, 4a + 3c = 0, 4b + 3d = 1을 풀면 a = 1.5, b = -0.5, c = -2, d = 1입니다. 따라서 A의 역행렬은 아래와 같습니다.

\[A^{-1} = \begin{pmatrix} 1.5 & -0.5 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix}\]

📚부울 행렬

부울 행렬이란 행렬의 모든 원소가 부울값(0 또는 1)로만 구성된 행렬을 말합니다.

📄부울행렬의 합, 교차, 부울곱

행렬 A=[a_ij]와 B=[b_ij]가 부울행렬일 때,

• 합
  A와 B의 크기가 서로 같을 경우 A와 B의 합(join)은 A ∨ B로 나타냅니다.

• 교차
  A와 B의 크기가 서로 같을 경우 A와 B의 교차(meet)는 A ∧ B로 나타냅니다.

• 부울곱
  m x n 크기의 행렬 A와 n x l 크기의 행렬 B의 부울곱(boolean product)은 m xㅣ 크기의 부울행렬이고 A ◉ B로 나타냅니다.

📍부울 행렬의 연산 결과를 구하시오.

\[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\]

1. A ∨ B = ?
   \(A ∨ B = \begin{pmatrix} 0 ∨ 0 & 1 ∨ 1 \\ 1 ∨ 1 & 1 ∨ 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

2. A ∧ B = ?
   \(A ∧ B = \begin{pmatrix} 0 ∧ 0 & 1 ∧ 1 \\ 1 ∧ 1 & 1 ∧ 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\)

3. A ◉ B = ?
   \(A ◉ B = \begin{pmatrix} (0 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 1) & (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) \\ (1 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 1) & (1 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\)