[LinearAlgebra]크래머 공식과 역행렬

📚크래머 공식

크래머 공식은 일차연립방정식의 수와 미지수의 수가 서로 같을 때 행렬식을 이용해서 미지수의 해를 구하는 해법이다. 아래 식의 분모는 계수행렬의 행렬식을 의미하고, 분자는 계수행렬의 j열 대신 상수행렬을 열로 써 넣은 행렬식이다.

\[X_j = \frac{|A_j|}{|A|} (단, |A| \ne 0)\]

📍예시

\[\begin{cases} 3x + 2y = -4 \\ x + 2y = -2 \end{cases}\]

\[\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}\]

\[x = \frac{det\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}}{det\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} \quad\quad y = \frac{det\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}}{det\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}}\] \[x = -1 \quad\quad y = -\frac{1}{2}\]

📚행렬식과 역행렬

n차 정방행렬 A = (a_ij)에 대해 (i, j) 원소 a_ij가 A의 원소 a_ij에 대한 여인수 A_ij인 행렬을 A의 여인수행렬이라 하며 A의 여인수행렬의 전치행렬을 A의 수반행렬이라고 하고 adjA라 표시한다.

n차 정방행렬 A = (a_ij)에 대해 |A| ≠ 0일 때 A^-1은 다음과 같다.

\[A^{-1} = \frac{adjA}{|A|}\]