[LinearAlgebra]행렬식

📚행렬식

행렬식(Determinant)이란 정방행렬에 고유한 실수 값을 대응시키는 함수이다. 정방행렬 A의 행렬식은 |A| 또는 det A로 표현한다.

• 소행렬(submatrix): A=(a_ij)를 n차 정방행렬이라고 할 때, A에서 i번째 행과 j번째 열을 제거시켜 구성되는 (n - 1)차 정방행렬을 A의 (i, j) 소행렬이라고 한다.

• 소행렬식(minor): 소행렬의 행렬식을 A의 원소 a_ij에 대한 소행렬식이라고 하고 M_ij로 표시한다.

• 여인수(cofactor): A_ij = (-1)^i+jM_ij로 정의되는 A_ij를 A의 원소 a_ij에 대한 여인수라고 한다.

1차 정방행렬 A = (a)에 대해 |A| = a이고 n >= 2일 때 n차 정방행렬 A(_ij)에 대해

\[\begin{align} |A| &= a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + ... + a_{1n}A_{1n} \\ &= \sum_{j = 1}^{n} a_{1j}A_{1j} \end{align}\]

위 식을 첫 번째 행에 의한 행렬식 |A|의 여인수 전개 또는 라플라스 전개라고 한다.

📚행렬식의 성질

• n차 정방행렬 A=(a_ij)가 영행을 갖는다면 |A|=0이다.

• n차 정방행렬 A=(a_ij)에 기본행연산 R_i,j를 적용하여 얻은 행렬을 B라 하면 |B|=-|A|이다.

• n차 정방행렬 A=(a_ij)에 기본행연산 R_i(c)를 적용하여 얻은 행렬을 B라 하면 |B|=c|A|가 성립된다.

• n차 정방행렬 A=(a_ij)에 기본행연산 R_i,j(c)를 적용하여 얻은 행렬을 B라 하면 |B|=|A|이다.

• n차 삼각행렬 A=(a_ij)의 행렬식 |A|는 다음과 같다.

\[|A|=a_{11}a_{12}...a_{nm} = \prod_{i=1}^{n} a_{ii}\]

📚행렬연산과 행렬식

기본행연산 R_ij, R_i(c), R_i,j(c)에 대한 n차 기본행렬을 각각 E_ij, E_i(c), E_i,j(c)라고 하면 다음이 성립한다.

1. \(|E_{i,j}|=-1\)
2. \( |E_{i}(c)|=c \)
3. \( |E_{i,j}(c)|=1 \)