[LinearAlgebra]행렬의 대각화

📚행렬의 대각화 가능성

📄대각행렬의 특성

M, N: n차 대각행렬(주대각 원소 이외의 원소들이 모두 0인 행렬)

1. MN도 대각행렬: 두 대각행렬의 곱은 대각행렬이다.

2. 대각행렬의 행렬식: 주대각 원소들을 모두 곱한 값이다.

3. 대각행렬의 역행렬: 대각행렬 형태이다. 주대각 원소들의 역원 형태.

4. 대각행렬의 고유값: 주대각 원소들이 고유값이 된다.

5. 대각행렬의 거듭제곱: 여전히 대각행렬 형태이다. 주대각 원소들을 거듭제곱한 형태.

대각행렬이 아닌 행렬을 거듭제곱하는 것은 쉽지 않다.
-> 대각행렬이 아닌 행렬을 대각행렬처럼 만들면 계산 수월해질 것이다.

📄대각화 가능성

\(M = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, A = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\[MB = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3B\] \[MC = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}, = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 2C\] \[M(B \quad C) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = (3B \quad 2C) = \begin{pmatrix} B & C \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\]

위 식을 살펴보면 행렬 M에 고유벡터들로 만들어진 행렬(B C)를 곱하면 고유벡터들로 구성된 행렬(B C)와 고유값들을 주대각 원소로 갖는 대각행렬의 곱과 같다는 것을 알 수 있다.

MP = PN

• P = (B C) (eigenvector matrix)
• N = \(\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) (eigenvalue matrix) 이것은 대각행렬이다!

위 식으로 부터 아래와 같은 식을 만들어 볼 수 있다.

M = PNP^-1

• 대각화 가능

M, N: n차 정방행렬 D: 대각행렬

1. N = PMP^-1를 만족하는 P가 존재 <=> M과 N이 유사하다(M과 N은 닮은 행렬, 또는 상사행렬) N = PMP^-1 <=> M = P^-1NP

2. M과 D(대각행렬)가 유사하다. 즉, M = PDP^-1 <=> M이 대각화 가능하다

📍대각화 불가능

\[M = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\] \[D = \begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} bd & -b^2 \\ -d^2 & bd \end{pmatrix}\]

대각행렬이 되려면 b와 d가 0이 되어야하는데 그러면 행렬식(판별식)이 0이 되므로 정칙행렬 P는 존재하지 않게 된다.(역행렬이 존재하지 않는다.) 따라서 행렬 M은 대각화가 불가능하다.

📚행렬의 대각화

n차 정방행렬 M이 대각화 가능하다. -> M의 거듭제곱도 쉽게 구할 수 있다.

1. 어떤 행렬이 대각화 가능할까?
2. 대각화 가능하다면 M = PDP^-1를 만족하는 정칙행렬 P와 대각행렬 D는 어떻게 구할까?

📄어떤 행렬이 대각화 가능할까?

n차 정방행렬 M이 서로 일차독립인 n개의 고유벡터를 가지면 => M은 대각화 가능하다.

예를 들어, 3차 정방행렬 M이 있을 때, 행렬 M이 3개의 고유벡터를 가지고 그 고유벡터들이 서로 일차독립이면 M은 대각화 가능하다.

📄정칙행렬 P와 대각행렬 D는 어떻게 구할까?

M의 고유값 λ₁, λ₁, …, λ₁에 각각 대응하는 M의 고유벡터 λ₁, λ₁, …, λ₁이 서로 일차독립이면 정칙행렬 P, 대각행렬 D가 존재하여 M = PDP^-1을 만족한다.

\[P = \begin{pmatrix} A_1 & A_2 & ... & A_n \end{pmatrix} \quad D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_2 & ... & 0 \\ ... & ... & & ... \\ 0 & 0 & ... & \lambda_n \\ \end{pmatrix}\]

• 대각화 가능 따름정리

n차 정방행렬 M이 n개의 서로 다른 고유값을 가지면 M은 대각화 가능하다.

-> 바로 전에 알아보았던 n차 정방행렬 M이 n개의 서로 다른 고유값을 가지면 서로 일차독립인 n개의 고유벡터를 가진다는 정리에 의해 위의 따름정리로 정방행렬 M이 대각화 가능하다는 것을 알 수 있다.

위 정리를 반대로 생각해보면 다음과 같다.

n차 정방행렬 M이 대각화 가능하면 M은 서로 일차 독립인 n개의 고유벡터를 가진다.

정칙행렬 P, 대각행렬 D가 존재하여 M = PDP^-1을 만족하고 이때

\[P^{-1}MP = D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & d_2 & ... & 0 \\ ... & ... & & ... \\ 0 & 0 & ... & d_n \\ \end{pmatrix}\]

d₁, d₂, …, d_n은 M의 고유값이고,
P의 i번째 열벡터는 d_i에 대응하는 M의 고유벡터이다.

📍예제 P와 D 구하기

\[M = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\]

• 대각행렬 D

M은 상삼각행렬이므로 주대각원소들이 고유값이다. 그리고 이 고유값들(3, -1, 1, 0)이 모두 다르기 때문에 이 행렬은 대각화 가능하다.

대각행렬 D는 고유값들을 주대각원소로 갖는 대각행렬이므로 아래와 같다.

\[D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\]

• 정칙행렬 P

정칙행렬 P는 순서대로 각 고유값에 대응하는 고유벡터들을 열벡터로 구성한 행렬이다.

P에 들어갈 첫 번째 열벡터를 A₁=(a b c d)^T라 두고 (M - 3I)A₁ = O를 구해보면 아래와 같다.

\[(M - 3I_2)A_1 = \begin{pmatrix} 3 - 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 - 3 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 - 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] \[\begin{cases} -4b -2c -3d = 0 \\ -2c -d = 0 \\ -3d = 0 \end{cases}\] \[A_1 = k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} (k_1 \neq 0)\]

위 과정을 반복해서 각 고유값에 대응하는 고유벡터들을 구하면 다음과 같다.

\[A_1 = k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} (k_1 \neq 0) \quad A_2 = k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} (k_2 \neq 0)\] \[A_3 = k_3 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} (k_3 \neq 0) \quad A_4 = k_4 \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} (k_4 \neq 0)\]

마지막으로 정칙행렬 P를 구해보면 아래와 같다.

\[P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -2 & -5 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]