[LinearAlgebra]역행렬

📚정칙행렬과 역행렬

📄배경

일차방정식 ax = b에서 a ≠ 0이면 a의 곱셈에 대한 역원 a^-1이 존재하여 a^-1을 방정식의 양변에 곱하여 해 x = a^-1b를 구할 수 있다.

위의 설명을 그대로 행렬방정식에도 적용해보면 아래와 같다.

행렬방정식 AX = B에서 A가 행렬 곱에 대한 역원(역행렬 A^-1)을 갖는다면 A^-1을 방정식의 양변에 곱하여 해 X = a^-1B를 구할 수 있다.

📄정칙행렬, 역행렬

n차 정방행렬 A에 대해 행렬 B가 존재하여 AB = BA = I_n 을 만족할 때 A를 정칙행렬(nonsingular matrix) 또는 역연산이 가능한 행렬(invertible matrix)이라고 하며, B를 A의 역행렬(inverse matrix)이라고 하고 B = A^-1으로 나타낸다.(I_n는 단위행렬)

• 정칙행렬의 유일성

A가 정칙행렬이면 A^-1은 유일하다. 즉, A의 역행렬은 하나만 존재한다는 의미이다.

만약 역행렬이 유일하지 않다고 가정하고 A의 역행렬을 B와 C라고 해보자. 그러면 AB = BA = I, AC = CA = I 라는 식이 성립할 것이다.

B = BI = BAC = IC = C

위 식에서 BA는 I라고 했으므로 BAC는 IC 즉, C와 같고 이는 B와 C가 같다는 말이 되므로 역행렬이 유일하지 않다는 가정이 틀린 것이 된다. 따라서 위 과정을 통해 역행렬이 유일한 것을 알 수 있다.

📍예제 2차 정방행렬의 역행렬 구하기

2차 정방행렬 A와 A에 대한 역행렬 A^-1을 \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad A^{-1} = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}\)로 두면

\[AA^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

위 행렬식에 따라 두 개의 일차연립방정식을 구할 수 있다.

\[\begin{cases} ax + bz = 1 \\ cx + dz = 0 \\ \end{cases} \quad \begin{cases} ay + bw = 0 \\ cy + dw = 1 \\ \end{cases}\]

D = ad - bc ≠ 0이라는 조건에서 위 방정식을 각각 x, z와 y, w에 관해 풀면 아래와 같다.

\[x = \frac{d}{D}, \quad y = \frac{-b}{D}, \quad z = \frac{-c}{D}, \quad w = \frac{a}{D} \quad\]

따라서 역행렬은 아래와 같은 형태로 구해진다.

\[A^{-1} = \frac{1}{D} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix}\]

• 행렬의 거듭 제곱

음이 아닌 정수 r과 s에 대해
\(A^rA^s = A^{r+s}, \quad (A^r)^s = A^{rs}\)

역행렬을 이용하여 위 식을 확장하면 아래와 같다.

정칙행렬 A에 관해 임의의 자연수 n에 대해 \(A^{-n} = (A^{-1})^n\)로 정의한다면, 임의의 정수(음수 포함) r과 s에 대해서도 성립한다.

📄정칙행렬의 성질

A와 B가 n차 정칙행렬이라고 하면 다음이 성립된다.

1. A^-1도 정칙행렬이며 (A^-1)^-1 = A이다.

2. AB도 정칙행렬이며 (AB)^-1 = B^-1A^-1이다.

3. cA도 정칙행렬이며 (cA)^-1 = c^-1A^-1이다. (단, c ≠ 0)

4. A^T도 정칙행렬이며 (A^T)^-1 = (A^-1)^T이다.

• 따름 정리

\(A_1, A_2, ..., A_k\)를 k개의 n차 정칙행렬이라고 하면
\((A_1 \; A_2 \; ... \; A_k)^{-1} = A^{-1}_k \; A^{-1}_{k-1} \; ... A^{-1}_2 \; A^{-1}_1\) 이 된다.

📚역행렬 구하는 방법

📄기본행렬

n차 단위행렬 I에 기본행연산을 한 번만 적용하여 얻는 행렬 E를 기본행렬이라고 한다. 기본행연산이 세 종류가 있듯이 기본행렬도 세 종류가 있다. 기본행연산 R_{i, j}, R_i(c), R_{i, j}(c) 각각에 대응하여 기본행렬도 E_{i, j}, E_i(c), E_{i, j}(c)로 표시한다.

📍예제 기본행렬

\[I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

\(E_{1, 2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) 첫 번째 행과 두 번째 행을 바꿈

\(E_3(5) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}\) 세 번째 행에 5를 곱한다.

\(E_{1, 3}(2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) 첫 번째 행에 2를 곱해서 세 번째 행에 더한다.(첫 번째 행은 바뀌지 않는다.)

📄기본행렬의 성질

기본행렬은 정칙행렬이며 그 역행렬은 동일한 종류의 기본행렬이다.

• \(E_{i, j}E_{i, j} = I\). 따라서 \((E_{i, j})^{-1} = E_{i, j}\)
  단위행렬의 i행과 j행을 바꾼 것을 또 바꾸면 자기 자신 단위행렬이 된다.

• \(E_{i}(c)E_{i}(c^{-1}) = I\). 따라서 \((E_{i}(c))^{-1} = E_{i}(c^{-1})\)
  단위행렬의 i행에 c를 곱해준 행렬과 i행에 1/c를 곱해준 행렬을 곱하면 단위행렬이 된다.

• \(E_{i, j}(c)E_{i, j}(-c) = I\). 따라서 \((E_{i, j}(c))^{-1} = E_{i, j}(-c)\)
  단위행렬의 i행에 c를 곱하고 j행에 더한 행렬과 i행에 -c를 곱하고 j행에 더한 행렬을 곱하면 단위행렬이 된다.

• 정칙행렬과 영행(영렬)

A가 n차 정칙행렬이면 A에는 영행이나 영렬이 없다. 즉, 어떤 행렬에 영행이나 영렬이 있다면 그 행렬은 역행렬을 가질 수 없다.

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} * & * \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq I_2\]

📄정칙행렬의 특성

A가 n차 정방행렬일 때 다음은 서로 동치이다.

1. A는 정칙행렬이다.
2. A와 I_n은 행상등하다.
3. A는 유한개의 n차 기본행렬들의 곱이다.

📄역행렬 구하는 이론

n차 정방행렬 A, B, C에 대해 (A | I_n)과 소거행제형 행렬 (B | C)가 행상등하면 다음이 성립한다.

1. B가 영행을 포함하면 A는 정칙행렬이 아니다.
2. 만일 B = I_n이면 A는 정칙행렬이고 C = A^-1가 된다.

\[[A \quad I] \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad [I \quad A^{-1}]\] \[\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \; \rightarrow \; \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & -10 & -8 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -6 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}\]

행렬 A에 3차 단위행렬을 오른쪽에 붙여서 확대행렬을 만들고 그 확대행렬을 가우스 조던 소거법으로 소거행제형 행렬로 만든다.

만들어진 소거행제형 행렬을 봤을 때 확대행렬에서의 원래 A의 자리가 단위행렬이면 A는 정칙행렬이다. 즉, 역행렬을 가질 수 있다. 그리고 소거행제형 행렬에서 단위행렬 옆의 행렬이 A의 역행렬이 된다.

하지만 소거행제형 행렬을 봤을 때 확대행렬에서의 원래 A 자리의 행렬이 단위행렬이 아니고 영행을 포함하면 A는 정칙행렬이 아니다.

📚일차연립방정식과 역행렬

📄위수

행렬 M에 기본행연산을 적용하여 행제형 행렬 R로 만들었을 때 R의 영행이 아닌 행의 수를 행렬 M의 위수(rank)라고 부른다.

📄일차연립방정식의 해

방정식이 m개이고 미지수가 n개인 일차연립방정식 AX = B에 대해 다음이 성립한다.

1. A의 위수와 (A | B)의 위수가 같기 위한 필요충분조건은 연립방정식이 해를 갖는 것이다.

2. A의 위수와 (A | B)의 위수가 n과 같기 위한 필요충분조건은 연립방정식이 유일한 해를 갖는 것이다.

• 해를 갖지 않는 경우

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \end{pmatrix}\]

A의 위수는 3이고 (A | B)의 위수는 4라서 해를 갖지 않는다.

• 해를 갖는 경우

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & * & | & * \\ 0 & 1 & * & | & * \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}\]

A의 위수는 2이고 (A | B)의 위수도 2라서 해를 갖는다. 위의 경우 미지수를 x, y, z라고 했을 때 z가 0이 되므로 무수히 많은 해를 가진다.

• 유일한 해를 갖는 경우

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & * \\ 0 & 1 & 0 & | & * \\ 0 & 0 & 1 & | & * \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}\]

A의 위수는 3이고 (A | B)의 위수도 3이라서 유일한 해를 가진다.

📄행렬방정식의 AX = B의 해

A가 n차 정칙행렬이면 임의의 n × 1 행렬 B에 대해 행렬방정식 AX = B는 유일한 해 X = A^-1B를 갖는다.

A는 정칙행렬 <-> 행렬식 |A| ≠ 0

|A| ≠ 0이면 행렬방정식 AX = B는 유일한 해 X = A^-1B를 갖는다는 의미이다.

이것은 일차방정식에서의

a ≠ 0이면 일차방정식 ax = b는 유일한 해 x = a^-1b를 갖는 것과 유사하다.

📄동차연립방정식

n차 정방행렬 A가 I_n과 행상등하기 위한 필요충분조건(A가 정칙행렬이기 위한 필요충분 조건)은 동차연립방정식 AX = O이 오직 자명한 해(X = O)만을 갖는 것이다.

• 정칙행렬의 특성 정리

A가 n차 정방행렬일 때 다음은 서로 동치이다.

1. A는 정칙행렬이다.
2. A와 I_n은 행상등하다.
3. A는 유한개의 n차 기본행렬들의 곱이다.
4. AX = O이 오직 자명한 해만을 갖는다.
5. n × 1 행렬 B 각각에 대해 AX = B는 유일한 해를 갖는다.