[LinearAlgebra]행렬과 일차연립방정식

📚행렬과 일차연립방정식

📄행렬

직사각형 형태로 수, 기호, 수식 등을 배열한 것을 행렬이라고 한다. 행렬을 구성하는 각 항목을 원소 또는 성분이라고 한다. m 개의 행과 n 개의 열에 배열한 행렬을 m × n 행렬 또는 m행 n열 행렬 또는 크기가 m, n인 행렬이라고 한다.

예를 들어 다음 행렬을 2 × 3 행렬 또는 2행3열 행렬 또는 크기가 2,3인 행렬이라고 한다.

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\]

m × n행렬 A에 대해

\[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{pmatrix}\]

a_ij를 행렬 A의 i행 j열 원소 또는 ij원소라고 한다. 또한 행렬 A=(a_ij)로 표현하기도 한다.

모든 i에 대해 행렬 A의 i번째 행 \(\begin{pmatrix} a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{im} \end{pmatrix}\) 은 1 × m 행렬이다. 이러한 행렬을 행벡터라고도 한다.

모든 j에 대해 행렬 A의 j번째 열 \(\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ ... \\ a_{nj} \\ \end{pmatrix}\) 는 n × 1 행렬이다. 이러한 행렬을 열벡터라고도 한다.

📄일차연립방정식을 행렬로 표현

연립방정식과 그에 대한 계수행렬, 상수행렬, 확대행렬을 표현하는 방법은 다음과 같다.

\[\begin{cases} 3x + 2y + 7z &= 7 \\ 4x - 3y + 7z &= 33 \\ x \quad\quad\quad + 5z &= 11 \end{cases}\]

위 연립방정식을 행렬과 벡터를 이용해 나타내면 아래와 같다.

\[\begin{pmatrix} 3 & 2 & 7 \\ 4 & -3 & 7 \\ 1 & 0 & 5 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 33 \\ 11 \\ \end{pmatrix}\]

(x, y, z) 앞에 3 x 3 행렬을 계수행렬이라고 한다. (x, y, z)를 해라고 하고 (-3, 4, 6)을 상수행렬이라고 한다. 계수행렬과 상수행렬을 묶어서 확대행렬을 만들 수 있다. 이 행렬은 해를 구하는 용도로 사용된다. 위의 과정처럼 해를 구하기 위해 식을 변형하는 작업을 기본행연산이라고 한다.

• 계수행렬

\[A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 7 \\ 4 & -3 & 7 \\ 1 & 0 & 5 \\ \end{pmatrix}\]

• 상수행렬

\[B = \begin{pmatrix} 7 \\ 33\\ 11 \\ \end{pmatrix}\]

• 확대행렬

\[A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 7 & 7 \\ 4 & -3 & 7 & 33 \\ 1 & 0 & 5 & 11\\ \end{pmatrix}\]

📚기본행연산

일차연립방정식의 해를 소거법으로 구할 때 방정식에 관한 세 가지 기본연산을 이용한다. 확대행렬에 관한 기본연산을 기본행연산이라고 부르며 세 가지 연산은 다음과 같다.

• 행 교환 연산

행 교환 연산이란 연립방정식에서 식의 순서를 바꾸더라도 해는 변하지 않으므로 두 행의 위치를 서로 바꾸는 작업을 말한다.

\[\begin{align} x + 3y \quad\quad\; &= 4 \\ -2x - 5y + 2z &= -3 \\ y + 3z &= 6 \\ \end{align}\]

• 행 스케일링 연산

행 스케일링 연산은 하나의 행에 0이 아닌 스칼라 곱을 하는 작업을 말한다. 방정식에 0이 아닌 상수를 곱하더라도 해는 변하지 않으므로 해는 유지된다.

\[\begin{align} 2x + 6y \quad\quad\; &= 8 \\ -2x - 5y + 2z &= -3 \\ y + 3z &= 6 \\ \end{align}\]

• 행 대체 연산

행 대체 연산이란 하나의 행에 스칼라 곱을 수행하고 그 결과를 다른 행에 더하는 작업을 말한다.

\[\begin{align} 2x + 6y \quad\quad\; &= 8 \\ y + 2z &= 5 \\ y + 3z &= 6 \\ \end{align}\]

• 행제형 행렬
  • 영행이 아닌 행은 영행의 위에 있다.
  • 행렬의 각 행에서 0이 아닌 가장 처음 나타나는 원소를 선도원소라고 합니다. 모든 선도원소는 1입니다.
  • 주어진 행의 선도원소는 그 아래 행의 선도원소보다 왼쪽에 있습니다.

• 소거행제형 행렬
  • 위 조건을 다 만족하면서 다음과 같은 조건도 만족하는 것이 소거행제형 행렬이다.
  • 선도원소가 포함된 열에서 선도원소를 제외한 모든 원소는 0이다.

📚가우스 소거법

일차연립방정식을 확대행렬로 만든 다음 기본행연산을 이용하여 행제형 행렬로 변환하여 해를 구한다. 이런 과정을 가우스 소거법이라고 한다.

1. 행렬 A와 B로부터 확대행렬 C = (A|B)를 구성한다
2. 기본행연산을 적용하여 C를 행제형으로 변환한다
3. 후진대입을 이용하여 해를 구한다

단계 2에서 얻은 행제형 행렬에서 선도원소가 속한 열에 대응하는 미지수를 선도변수라고 하고 그외 미지수를 자유변수라고 한다.

• 후진대입법
  1. 각각의 자유변수를 임의의 매개변수로 둔다
  2. 영행이 아닌 행 중에서 가장 아래에 있는 행을 찾고 그 위치를 i번째로 한다
  3. i번째 행을 그 행의 선도변수에 관해 푼다
  4. i = 1이면 종료하고, i > 1이면 i ← i - 1로 i값을 치환하여 단계 3을 수행한다

📚가우스-조르단 소거법

가우스-조르단 소거법은 후진대입을 사용하지 않고 확대행렬을 소거 행제형으로 변환해서 해를 구한다.

1. 계수행렬 A와 계수행렬 B로부터 확대행렬 C = (A|B)를 구한다
2. 기본행연산을 이용하여 C를 소거행제형 행렬 D로 변환한다
3. 자유변수 각각을 임의의 매개변수로 둔다
4. 행렬 D의 0이 아닌 각 행을 선도변수에 대해 푼다