[LinearAlgebra]행렬연산

📚기본 개념

📄정방행렬

행의 수와 열의 수가 같은 n x n 행렬을 n차 정방행렬이라고 한다. n을 정방행렬의 차수라고 한다. a₁₁, a₂₂, a₃₃, …, a_nn 원소를 주대각원소라고 한다. 주대각원소를 포함하는 대각선을 주대각선이라고 한다.

📍정방행렬

\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\]

📄대각행렬

n차 정방행렬에서 대각원소 이외의 모든 원소가 0인 행렬을 대각행렬이라고 한다. 대각원소가 모두 같은 값인 대각행렬을 스칼라 행렬이라고 한다.

📍대각행렬

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}\]

📄단위행렬

n차 정방행렬에서 대각원소가 모두 1이고 나머지 원소는 모두 0인 행령을 n차 단위행렬이라고 한다. I_n 기호로 나타낸다.

📍단위행렬

\[I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\]

📄영행렬

모든 원소가 0인 행렬을 영행렬이라고 한다. 아래 행렬을 3 x 3인 영행렬이다.

\[\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\]

📄삼각행렬

n차 정방행렬에서 주대각선 아래에 있는 모든 원소들이 0인 경우 상삼각행렬, 주대각선 위에 있는 모든 원소들이 0인 경우 하삼각행렬이라고 한다. 상삼각, 하삼각행렬을 삼각행렬이라고 부른다.

📍삼각행렬

• 상삼각행렬 \(\begin{pmatrix} 2 & 5 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\)
  
  
• 하삼각행렬 \(\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\)

📚행렬의 합

행렬이 수를 배열한 것이므로 더하려는 두 행렬의 크기가 같다면 쉽게 합을 정의할 수 있다. 두 행렬의 합은 우선 행렬의 크기가 서로 같은 경우를 전제로 한다. 행렬에 대한 합 연산의 정의는 다음과 같다.

A = (a_ij)와 B = (b_ij)를 m × n행렬이라 하면 두 행렬 A, B의 합은 m × n행렬 C = (c_ij)로 다음과 같이 정의한다.

\[c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} (1 <= i <= m, 1 <= j <= n)\]

두 행렬의 합은 A + B = C로 나타낸다.

• 행렬의 합
  같은 크기의 행렬 A, B가 있을 때 같은 위치의 A의 원소로부터 B원소를 더해서 구해지는 행렬이다.

• 행렬의 차
  같은 크기의 행렬 A, B가 있을 때 같은 위치의 A의 원소로부터 B원소를 빼서 구해지는 행렬이다.

📍두 행렬의 합에 대한 결과를 구하시오.

\(A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{pmatrix}\)

1. A + B = ?
   \(A + B = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 3 \\ \end{pmatrix}\)

2. A - B = ?
   \(A - B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -1 & -1 \\ \end{pmatrix}\)

M_mn이 m × n행렬 전체의 집합이고 A, B, C가 M_mn의 임의의 원소라고 하면 행렬의 합은 다음과 같은 성질이 성립한다.

1. A + B = B + A
2. A + (B + C) = (A + B) + C
3. A + O = A (행렬 O를 m × n크기의 영행렬이라고 한다.)

📚행렬의 스칼라곱

하나의 행렬에 하나의 수를 곱하는 연산을 행렬의 스칼라 곱이라고 한다.

A = (a_ij)가 m × n행렬이고 c를 임의의 수라고 하면 행렬 A와 수 c의 스칼라곱 cA는 m × n행렬이고 다음과 같이 정의한다.

\[cA = (ca_{ij}) (1 <= i <= m, 1 <= j <= n)\]

스칼라곱하여 얻어지는 행렬의 크기는 m × n행렬이고 (i, j) 행렬원소는 ca_ij이다.

📍다음 행렬의 스칼라곱의 결과를 구하시오.

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix}\]

• 2A = ?
  \(2A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & -2 \\ \end{pmatrix}\)

M_mn이 m × n행렬 전체의 집합이고 A, B가 M_mn의 임의의 원소이며 c, d는 임의의 수라고 하면 행렬의 스칼라곱은 다음과 같은 성질이 성립한다.

1. (c + d)A = cA + dA
2. c(A + B) = cA + cB
3. c(dA) = (cd)A
4. 1A = A

📚행렬의 곱

행렬의 스칼라곱과 달리 행렬의 곱은 두 행의 곱을 의미한다. 행렬의 곱은 크기가 같은 두 행렬에 대해 대응되는 성분끼리 곱하는 것이 아니다!

두 행렬의 곱 AB를 정의하려면 A의 열의 개수와 B의 행의 개수가 같아야 한다. A가 m × p 행렬이고 B가 p × n 행렬일 때, 행렬의 곱은 m × n 행렬이 된다.

📍행렬 곱의 결과를 구하시오.

\(A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{pmatrix}\)

• AB = ?
  \(AB = \begin{pmatrix} (5 * 0) + (3 * 2) & (5 * 1) + (3 * 2) \\ (1 * 0) + (1 * 2) & (1 * 1) + (1 * 2) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 11 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}\)

행렬의 합은 일반적인 수에서의 대수적 성질과 유사하지만 행렬의 곱은 그렇지 않다. A + B = B + A는 성립하지만 AB = BA는 언제나 성립하는 것은 아니라서 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다.

행렬의 곱은 또 다른 특이함이 있다. 영행렬이 아닌 두 행렬의 곱이 영행렬이 되는 경우가 있다. 또한 행렬 A, B, C가 있을 때, B ≠ C임에도 AB = AC가 되기도 한다.

📚전치행렬

주어진 행렬에 대해서 원소들의 행과 열을 서로 바꾸어 배치하는 것을 행렬의 전치라고 한다.

A = (a_ij)를 m × n행렬이라 하면 A의 전치행렬은 n × m행렬 A^T = a_ij^T로 다음과 같이 정의한다.

\[(a_{ij})^{T} = a_{ji} (1 <= i <= m, 1 <= j <= n)\]

📍행렬 A의 전치행렬을 구하시오.

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \\ \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\]

\[A^{T} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix} \quad B^{T} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ \end{pmatrix}\]

행렬의 전치는 다음과 같은 성질이 있다.

1. (A^T)^T = A
2. (A + B)^T = A^T + B^T
3. (AB)^T = B^TA^T
4. (cA)^T = cA^T

A^T = A인 행렬 A를 대칭행렬이라고 한다. 행렬 A가 대칭행렬이 되려면 정방행렬이어야 하고 a_ij = a_ji를 만족해야 한다. 따라서 대칭행렬 A는 주대각원소를 기준으로 대칭되는 위치의 행렬원소가 서로 같은 행렬이다.