[LinearAlgebra]내적공간과 직교행렬
📚내적공간과 직교벡터
일반 벡터공간에서의 내적
벡터공간 V의 임의의 두 벡터 A, B에 대해 실수 <A, B>를 대응시키는 관계가 다음을 만족할 때 <A, B>를 A와 B의 내적이라고 한다.
A, B, C ∈ V, k ∈ R(실수집합)
- <A, B> = <B, A>
- <A, B + C> = <A, B> + <A, C>
- <kA, B> = k<A, B>
- <A, A> >= 0 이고, <A, A> = 0일 필요충분조건은 A = O
📄내적공간
벡터공간에 내적을 고려해서 내적이 포함된 벡터공간을 내적공간이라고 한다.
<, >: 벡터공간 V에 정의된 내적
-> V를 내적공간(inner product space). {V, <, >}로 표시한다.
예) Rn벡터공간은 내적공간으로서 {Rn, ·}
📄내적공간의 벡터크기
- Rn 내적공간의 벡터 A의 크기
- 일반 내적공간 {V, <, >}의 벡터 A의 크기
📄벡터 사이의 각(사이각)
- Schwarz부등식
내적공간 {V, <, >}에서 임의의 벡터 A, B ∈ V에 대하여
\[| \; <A, B> | \; \le \; ||A|| \; ||B||\]A와 B의 내적의 크기(절대값)는 각각의 A, B크기의 실수 곱 보다 작거나 같다.
O벡터가 아닌 A, B에 대해 Schwarz 부등식
\[| \; <A, B> | \; \le \; ||A|| \; ||B||\] \[\frac{| \; <A, B> |}{||A|| \; ||B||} \le 1\] \[-1 \le \frac{<A, B>}{||A|| \; ||B||} \le 1\] \[cos\theta \equiv \frac{<A, B>}{||A|| \; ||B||} (0 \le \theta \le \pi)\]벡터 A와 B 사이의 각이 \(\theta\)라고 약속해서 사용.
📄벡터의 직교
<A, B> = 0이면 cosθ = 0이므로 θ = 90도 -> A와 B는 직교(orthogonal)한다.
-
직교벡터들의 일차독립성 내적공간 {V, <, >}에서
벡터 A1, A2, …, An(단, Ai ≠ O)이 서로 직교하면 이 벡터들은 일차독립이다. -
직교집합(orthogonal set): 서로 직교인 O이 아닌 벡터(직교벡터)들의 집합
-
단위직교집합(orthonormal set): 길이가 1인 직교벡터들의 집합
📍예제
{R3, ·}, S = {A1, A2, A3}
\[A^{T}_{1} = (1 \quad 1 \quad 1), A^{T}_{2} = (1 \quad -2 \quad 1), A^{T}_{3} = (1 \quad 0 \quad -1)\] \[\begin{gather} A_1 \cdot A_2 = 1-2+1 = 0 \\ A_2 \cdot A_3 = 1+0-1 = 0 \\ A_3 \cdot A_1 = 1+0-1 = 0 \\ \rightarrow \text{S는 직교집합(기저)} \end{gather}\] \[\begin{gather} |A_1| = \sqrt{3}, \quad |A_2| = \sqrt{6}, \quad |A_3| = \sqrt{2} \\ \rightarrow \text{S는 단위직교집합 아니다.} \end{gather}\]위 집합을 단위직교집합으로 만들려면 어떻게 해야 할까?
-> 벡터 자신을 자기 자신의 길이로 나눠주면 된다.(정규화)
\[B_i = \frac{A_i}{| A_i |}\] \[\begin{gather} B_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}A_1 \\ B_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}A_2 \\ B_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}A_3 \\ \rightarrow S_{unit} = \{B_1, B_2, B_3\}\text{는 단위직교집합} \end{gather}\]📄직교보공간
내적공간 {V, <, >}에서
벡터 A가 V의 부분공간 U의 모든 벡터들과 직교하면, 벡터 A는 U와 직교한다.
U와 직교하는 V의 모든 벡터들의 집합을
U의 직교보공간(orthogonal complement)이라고 한다.
어떤 부분공간에 대응해서 직교하는 벡터들만 모아놓은 부분공간이라고 이해.
- 직교보공간의 성질
내적공간 {V, <, >}에서 U를 V의 부분공간이라고 할 때
- \( U^\perp \lt V \)
- \( U \cap U^\perp = {O} \)
- \( (U^\perp)^\perp = U \)
- \( A \in U^\perp \Leftrightarrow \text{A가 U의 기저와 직교 } \)
📚직교행렬
M: n차 정칙행렬
M-1 = MT => M을 직교행렬(orthogonal matrix)
MMT = I와 같다.
행렬 M의 역행렬과 행렬 M의 행과 열을 바꾼 전치행렬이 같으면 행렬 M을 직교행렬이라고 한다.
📍예제
\[M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = M^T\]📄직교행렬 특징
MMT = I
-> M의 행벡터 Ai에 대해
\[<A_i, A_j> = \begin{cases} 1 \quad (i = j) \\ 0 \quad (i \neq j) \end{cases}\] \[M \cdot M^T = \begin{pmatrix} A_1 \cdot A_1 & A_1 \cdot A_2 \\ A_2 \cdot A_1 & A_2 \cdot A_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]자기 자신과 내적하면 1이 되고 그렇지 않으면 0이 된다.
- 단위직교벡터와의 관련성
n차 정방행렬 M이 직교행렬 <=> M의 열벡터 또는 행벡터들이 단위직교벡터
📄직교행렬의 행렬식
M이 직교행렬 => M의 행렬식은 1또는 -1
\[M^TM = I \rightarrow |M^TM| = |M||M^T| = |M|^2 = |M| = \pm1\]- |AB| = |A| |B|
- |AT| = |A|
📄2차 직교행렬의 특성
2차 정방행렬 M이 직교행렬
-> M은 평면에서의 회전변환 또는 대칭변환에 대응하는 행렬
- |M| = 1 => M은 회전변환에 대응
- |M| = -1 => M은 대칭변환에 대응
- 대칭행렬의 대각화
대칭행렬 M은 직교행렬에 의해 대각화된다.
📚직교변환
{V, <, >}, {W, <, >}: 내적공간일 때
T: V -> W 선형변환이고,
|| T(A) || = ||A||이면
T를 직교변환이라고 한다.
직교변환이란 원래 있던 벡터의 길이를 보존하는 선형변환이라고 이해.
📄직교변환의 성질
{V, <, >}, {W, <, >}: 내적공간
T: V -> W 선형변환이고일 때 다음은 모두 동치이다.
- T가 직교변환
- ∀A, B ∈ V, <A, B> = <T(A), T(B)> (내적 보존)
- 내적공간 V의 단위직교기저 {Ai}에 대해 {T(Ai)}는 내적공간 W의 단위직교집합(사이각 보존)
- 단위직교기저에 의한 T에 대응하는 행렬 M은 MTM = I를 만족한다.
(dim V = dim W = n이면 행렬 M은 n차 직교행렬)
📄직교변환과 직교행렬의 관계
내적공간 {V, <, >}에 대해
A, B ∈ V이고, T: V -> V가 직교변환,
M을 T의 행렬로서 n차 직교행렬(MTM = I)이라고 하면,
- 길이 보존: || T(A) || = ||A||
- 각 보존: θ -> θT
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