[LinearAlgebra]평면벡터와 공간벡터

📚평면벡터

A를 평면 R²상의 벡터라고 하고, 벡터 A의 시작점을 평면의 원점에 맞출 때 끝점 P를 (a, b)라고 하면 벡터 A를 다음과 같이 정의할 수 있다.

\[A = \overrightarrow{OP} = (a, b)\]

평면벡터 A = (a, b)가 주어졌을 때 벡터 A의 크기를 |A|으로 쓰고 다음과 같이 정의한다.

\[|A| = \sqrt{a^2 + b^2}\]

📚공간벡터

벡터를 이용하여 R³ 공간의 직선에 대한 벡터 방정식을 구하는 방법을 정리하면 다음과 같다.

• R³ 공간의 두 벡터 A = (x₁, y₁, z₁), B = (x₂, y₂, z₂)의 끝점을 지나는 직선의 벡터 방정식은 C = A = k(B - A)이고, 이 방정식의 성분 표현은 다음과 같다.

\[\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}\]

• R³ 공간의 벡터 A = (x₂, y₂, z₂)에 평행하고 한 점 B = (x₁, y₁, z₁)을 지나는 직선의 벡터방정식은 C = B + kA이고, 이 방정식의 성분 표현은 다음과 같다.

\[\frac{x - x_1}{x_2} = \frac{y - y_1}{y_2} = \frac{z - z_1}{z_2}\]

📚Rⁿ 공간벡터

📄유클리드 n차원 공간

n개의 실수들의 순서조(ordered pair) 전체의 집합

(1, 2) ≠ (2, 1)

\( R^{2} = R \times R \)

\( R^{n} = R \times … \times R \text(n번 곱함) \)

📄벡터의 정의 및 상등

R2	R3	Rn
A = (a1, a2)	A = (a1, a2, a3)	A = (a1, a2, …, an)
A = (a1, a2) B = (b1, b2) (a1 = b1, a2 = b2) -> A = B	A = (a1, a2, a3) B = (b1, b2, b3) (a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3) -> A = B	A = (a1, a2, …, an) B = (b1, b2, …, bn) (∀i, ai = bi) -> A = B

두 벡터가 같으려면 성분끼리 같아야 한다.

📄벡터의 크기|A|

• R²

A = (a₁, a₂)

\( |A| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} \)

• R³

A = (a₁, a₂, a₃)

\( |A| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} \)

• Rⁿ

A = (a₁, a₂, …, a_n)

\( |A| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + … + a_{n}^{2}} \ = \sqrt{\sum_{1}^{n}a_{i}^{2}} \)

📄벡터의 실수곱

벡터의 실수곱 kA는 모든 벡터의 성분에 스칼라 k를 곱해준다.

(ka₁, ka₂)

(ka₁, ka₂, ka₃)

(ka₁, ka₂, …, ka_n)

📄벡터의 합

벡터의 벡터 합 A + B

벡터의 성분끼리 더하면 된다.

A = (a₁, a₂, a₃) B = (b₁, b₂, b₃)

A + B = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)

📄Rⁿ 공간 벡터의 성질

A, B, C ∈ Rⁿ, k, l ∈ R

1. A + B = B + A(덧셈의 교환법칙)
2. A + (B + C) = (A + B) + C(덧셈의 결합법칙)
3. A + O = O + A = A (덧셈의 항등원)
4. A + (-A) = (-A) + A = O (덧셈의 역원)
5. k(A + B) = kA + kB (실수곱의 분배법칙)
6. (k + l)A = kA + lA (실수곱의 분배법칙)
7. k(lA) = (kl)A (실수곱의 결합법칙)
8. 1A = A (실수곱의 항등원)

📚R³ 공간에서의 직선의 방정식

• 두 점 P와 Q를 지나는 곡선

P(x₁, y₁, z₁), Q(x₂, y₂, z₂)

\[\vec{PQ} // \vec{PX} => B - A // C - A => C - A = k(B - A)\] \[C = A +k(B - A)\] \[(x, y, z) = (x_1, y_1, z_1) + k(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\] \[\begin{cases} &x = x_1 + k(x_2 - x_1) \\ &y = y_1 + k(y_2 - y_1) \\ &z = z_1 + k(z_2 - z_1) \end{cases}\] \[k = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}\]

• 한 점P를 지나고 벡터 A에 평행한 직선

P(x₁, y₁, z₁), A(x₂, y₂, z₂)

\[\vec{PX} // A => C - B // A => C - B = kA\] \[C = B + kA\] \[(x, y, z) = (x_1, y_1, z_1) + k(x_2, y_2, z_2)\] \[\begin{cases} &x = x_1 + kx_2 \\ &y = y_1 + ky_2 \\ &z = z_1 + kz_2 \end{cases}\] \[k = \frac{x - x_1}{x_2} = \frac{y - y_1}{y_2} = \frac{z - z_1}{z_2}\]

📚벡터의 내적

Rⁿ 공간의 두 벡터 A = (a₁, a₂, …,a_n) B = (b₁, b₂, …,b_n)

벡터 A와 벡터 B의 내적을 A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + … + a_nb_n 으로 정의한다.

(각 성분끼리 곱해서 모두 더한다.)

• A · B = AB^T (벡터 A와 B의 내적은 n×1행렬 A와 1×n행렬 B의 행렬 곱)

📄내적의 성질

1. A · B = B · A (교환법칙)
2. A · (B + C) = A · B + A · C (분배법칙)
3. (kA) · B = k(A · B) = A · (kB) (결합법칙)
4. A · A = |A|²≥0 이다.
   A · A = 0 일 필요충분조건은 A = O이다.

📄벡터의 내적과 사이각

R²나 R³에서 벡터 A와 B의 사이각을 θ라 하면 A · B = |A| |B| cosθ가 성립한다.

\[\cos\theta = \frac{A · B}{|A||B|}\]

• 벡터의 내적과 사이각, 정사영(그림자) 벡터

\[A · B = |A|(|B|\cos\theta) = (|A|\cos\theta)|B|\] \[A · B = |A| \overline{OH_1}\] \[\vec{OH_1} = \overline{OH_1} · U_A (\text{단위벡터}, U_A = \frac{A}{|A|})\]

📄두 벡터의 수직 조건

R²나 R³에서 영벡터가 아닌 두 벡터 A, B가 수직인 것은 A · B = 0인 것과 동치이다.

\[\cos\theta = \frac{A · B}{|A||B|} = 0\]

cosθ = 0 (θ = 90°)

📚벡터의 외적